石头~~剪刀~~布~~~

Aster GameのDay, 理宅异闻录 Leave a Comment

前段时间一片研究石头剪刀布的文章引起了轩然大波,网友纷纷指责浪费科研经费...

在我看来,人家的经费是自己争取来的,还轮不到外人来指手画脚吧?只要有趣又不影响其他人那爱干啥干啥...


言归正传,其实这个话题还是蛮有趣的...

天南海北有说石头剪刀布的,也有说剪刀石头布的,但是绝对没有先说布的...好吧这没啥好研究的,英文的话Rock Paper Scissors也不可能先说Scissors...音节不对别扭..

所有可能情况有A(3,3)=6种,这儿有个有趣的文章研究了不同地区的倾向,一共研究了43国的顺序倾向,最终结果大概这样:

看来石头剪刀布至少比剪刀石头布正统...


现实中玩猜拳出拳的倾向是不同的,一般统计结果显示布的概率低于30%,石头和剪刀差不多,石头稍稍高一些.

这并没有什么用,就像我告诉你我要出石头...你怎么办呢?这是个很复杂的问题,这是单向的猜疑链,这是阳谋,你又能怎么样?

早在我小学的时候,身边就有这样异能的读心者可以打遍全校无敌手,玩的都没人敢和他玩了...更不用说专于此道的""职业玩家"",毫无意识的普通人面对这些不败的诈术师只能被耍的团团转...

最好的办法么...显然不是去研究这个...你瞎研究照样被耍...

最好的方法就是抵消你的劣势,和机器一样冷静完全随机...人脑作为随机发生器烂的可以,很容易被抓住破绽...所以你可以选择记忆一串随机列表,当然听起来吃饱了撑着没事干...

山巅一寺一壶酒...这个大家都知道吧,圆周率的前23位,不多够用了,对于人脑来说这是个很长的循环了,不会察觉的.

3.14159 26535 8974323 84626 每次取一位模3,0就是石头,1就是剪刀,2就是布...一个循环后可以轮换,这个随便定好了...因为本身这个随机是不太均匀的

各位的频率是{{0, 8}, {1, 6}, {2, 9}},更长位数并没有什么用,还是不太均匀,所以需要轮换.不过太均匀反而不好.

圆周率啊,平时还可以装装逼,背一下还是挺值的...效果大概是这样的.

这是个很怪的出拳顺序,针对不了.


试想一个有趣的情景,你和姬友猜拳,一局定胜负,结果姬友输了不服反悔,约好三局两胜,

但是你很不幸你又赢了,姬友不干了,现在五局三胜!

那么问题来了如果一直这么反悔下去会怎么样?

如果用1表示胜,0表示败,一局定胜负{1}

那么三局两胜只有一种情况{011}

五局三胜必定不能包含三局两胜的序列,所以有{00111,01011}两种

七局四胜这个多了,数一下{101011,100111,011011,010111,001111}一共五种

我写了个穷举

用Length数一下正好是卡特兰数...好吧,其实是OEIS告诉我的...(≧∀≦)ゞ

所以反悔k次时解决战斗的概率为$\frac{{{C_k}}}{{{2^{2k + 1}}}}$

所以合起来反悔n次能赢的概率是

$$P(n) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{C_k}}}{{{2^{2k + 1}}}}}  = 1 - {2^{ - 2\left( {n + 1} \right)}}C_{2\left( {n + 1} \right)}^{n + 1} = 1 - \frac{{\Gamma \left( {n + 1.5} \right)}}{{\sqrt \pi  \Gamma \left( {n + 2} \right)}}$$

一局定胜负胜率是50%,反悔一次三局两胜才62.5%,反悔两次拖到五局三胜就68.8%,反悔个30次胜率也不满90%...真悲伤

这个的极限当然是1啦,虽然增长的很慢很慢但总能赢啊.

不过事实上你的很强,你可爱的姬友不见得能有一半的胜率.每局你胜率的概率实际上是p.

所以反悔k次后你输的概率是$P(k) = {C_k}{p^k}{(1 - p)^{k + 1}}$

所以反悔无数次你可ke爱lian的姬友还在和你玩啊玩的概率是

$${P_\infty } = 1 - \sum\limits_{k = 0}^\infty {P(k)} =
\left\{ \begin{aligned}
&0 &&p \in [0,\frac{1}{2}]\\
&2 - \frac{1}{p} &&p \in (\frac{1}{2},1]\\
\end{aligned} \right.$$

这真是极好的...


有个很有趣的现象,我上小学的时候还有种叫做双手猜的游戏,一般这么喊:先出这个,再出这个,收回这个...

猜拳的高手一般别人都会说运气好、狡诈,玩到后来都没人去和他玩了...但是精于双手猜的高手一般大家都说聪明、厉害!同学们纷纷来挑战,即便屡战屡败...

虽然小学生想来总结不出来,但确实有一种适当的策略可以使得你几乎不败

按照这个打法只有5.6%的概率失败,另有33.3%的概率平局,凭借这一秘籍...打遍全校无敌手还是可以的...呃,狂虐小朋友...智商压制好好玩啊...


言归正传,这个故事告诉我们的道理是...呃...要给对方一个我很厉害我能赢的错觉,然后他就会生生世世和你纠缠不清了...好像在说某种奇怪的事情...

所以我们要搞得复杂点来让萌萌哒的好基友感觉很有趣然后和你玩...怎么从姬友变成基友了...

比如...可以这样,来点彩头,出石头赢的话得a元,出剪刀赢的话得b元,出布赢得话得c元...

数学上来说的话应该是个博弈论问题,很容易写出支付矩阵:

$$\left\langle {\begin{array}{*{20}{c}}
{0,0}&{ - a,a}&{b, - b} \\
{a, - a}&{0,0}&{ - c,c} \\
{ - b,b}&{c - c}&{0,0}
\end{array}} \right\rangle $$

算得纳什均衡解为

石头$\frac{a}{{a + b + c}}$,剪刀$\frac{b}{{a + b + c}}$,布$\frac{c}{{a + b + c}}$

可这并没有什么用,会博弈论最无奈的一件事是......就算我懂博弈论对面也不懂

若是只有均衡解那只能陪着对面瞎玩...


不知大家还记不记得生活大爆炸中的Rock Paper Scissors Spock Lizard...我还练了半天的Live Long and Prosper...什么鬼手势果然我这样的蒟蒻地球人学不会...

说个冷知识:你没有办法在弯曲小拇指的情况下自然伸直无名指...

然后你试了下发现是真的...然后...反正不会傻傻的笑啊笑的...估计你还会很生气的摆弄不争气的小拇指...

多研究下这个你就会想出7个的情形

有点复杂?然后捣鼓捣鼓能捣鼓出更多的情形

这个RPS矩阵是个循环矩阵,我介绍过循环矩阵没有来着...讨论椭圆与多边形的时候好像讲过,右上搜索功能...

题图就是RPS21啦,我记得我好久不造粒子加速器了来着...实在是想不出这么多的名字了...


这个规则很复杂吗?

事实上So Easy...当然偶数不是不可以,就是没这么好看.另一个就是偶数平局规定为自身和相对的数,所以平局率会稍稍比奇数的情况高.

平局率${P_h} = \frac{2}{{LCM\left[ {2,n + 1} \right]}}$,胜率么...$\frac{{1 - {P_h}}}{2}$呗

判定胜负其实很容易,标个号,你的牌为n,对面的牌为x,首先判定平局,不是平局的话如果

$$\begin{aligned}
odd:&x \in [n + 1,n + (k - 1)/2]\; &&\mod\;k\\
even:&x \in [n + 1,n + k/2 - 1]\; &&\mod\;k
\end{aligned} $$

那么就赢了,否则就输了.

比如一副扑克牌,一种花色13张就可以来一局,牌面n的牌能够胜过$[n + 1Mod13,n + 6Mod13]$的所有牌

13正好是奇数,13局几胜来着...懒得算了好困...

还可以多点花样,比如用几赢的就得几分,最后算总分...

这么玩就有趣了,真要考究起来还是很有玩头的.

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