函数·创世纪

Aster 『NevereverLand』 Leave a Comment

在那原初的时光,你只有幂函数$x^n$的陪伴

你知道

\[\int {{x^n}{\text{d}}x = } \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\]

但是在$n=-1$处却不适用.

你想知道反比例函数的不定积分.

于是你打开了潘多拉之盒.


你发现这个函数没法用有限的幂函数复合来表达.

你知道任何可黎曼积分的函数都能用变上限积分来表示原函数.

\[F(z) = {C_a} + \int_a^z {f(x){\text{ d}}x} \]

你觉得也许可以给他个新名字:

\[\ln z = \int_1^z {\frac{1}{x}{\text{d}}x} \]

 

潘多拉的到来带来了更多的新成员.

你定义了广义的对数函数:

\[{\log _b}a = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}\]

你用反函数定义了指数函数和广义的指数函数:

\[\begin{aligned}
e^x &= {(\ln x)^{( - 1)}}\\
a^x &= {e^{x\ln a}}\\
\end{aligned}\]

你用指数函数定义了第一个三角函数$\sin$.

\[\sin x = \frac{1}{2}i{e^{ - ix}} - \frac{1}{2}i{e^{ix}}\]

三角恒等变换带来了全部的8个三角函数.

弦矢切割,外加各自的反函数一共是16个.

反对幂三指常.

你把他们统称为基本初等函数,新的纪元开始了.


阴影再次笼罩失乐园上空:

\[\begin{aligned}
{I_n} &= \int {{x^n}{e^x}{\text{d}}x}\\
&= \int {{x^n}{\text{d}}{e^x}}\\
&= {e^x}{x^n} - \int {{e^x}{\text{d}}{x^n}}\\
&= {e^x}{x^n} - n\int {{e^x}{x^{n - 1}}{\text{d}}x}\\
&= {e^x}{x^n} - n{I_{n - 1}}\\
\end{aligned}\]

$n$为负时又该如何?

你回想起了那天被不安支配的恐惧...

\[\begin{aligned}
\int {\frac{e^x}{x}{\text{d}}x} &= ? \\
\int {\frac{1}{\ln x}{\text{d}}x} &= ? \\
\int {\frac{\sin x}{x}{\text{d}}x} &= ? \\
\end{aligned}\]

你运用刚刚锻造出的名为微分扩域的神器.

你发现这些函数都不能写出原函数.


你不得不打开深渊之门:

你给了他们新的名字.

\[\begin{aligned}
{\text{Ei }}(z) &= - \int_{ - z}^\infty {\frac{{{e^{ - x}}}}{x}{\text{d}}x}\\
{\text{Li }}(z) &= \int_0^z {\frac{{{\text{d}}x}}{{\ln x}}}\\
{\text{Si }}(z) &= \int_0^z {\frac{{\sin x}}{x}{\text{d}}x}\\
\end{aligned}\]

你把非初等函数统称为特殊函数

自那以后特殊函数的数目不断地增加:

现代数值体系建立在一百多个特殊函数之上,大致可以分成如下几个家族:

Gamma函数家族,误差函数与指数积分家族,多对数与Zeta函数家族,贝塞尔家族,勒让德家族,椭圆函数家族,球谐函数家族,模数形式家族...


这么多函数之间的转换关系极为复杂.

你希望可以使用一种通用语言来描述------大一统函数!

这种函数自己的积分必须可以通过自己来表示,然后其他函数先化归为这个,积分完再化归回去,这不就一劳永逸的解决了这个难题吗?

这有点点像积分变换,从函数空间的饕餮巨兽变成相空间中的待宰羔羊------数学版的Polymorph神技.

把复杂的微分方程变成简单的代数方程,加加减减就解出来了,至于怎么回到函数空间这就是另一回事了...

从Appell函数到合流超几何函数,再到广义超几何函数,现在接力棒交到了梅耶尔G函数的手上...

\[G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\text{ d}s\]

MeijerG函数基于梅林变换,Merlin的魔法现在已经成为了计算机代数系统的基石之一.

于是你现在只要关心怎么转进来和怎么转回去就行了.


但是只有很少很少的函数符合变换条件,更多的函数压根儿就"魔免".

$\sin (\sin (x))$不吃这套,没法积分.就算定义:

\[Ss(z) = \int_z^\infty  {\sin (\sin (x)){\mkern 1mu} } {\text{d}}x\]

这又有什么用?

\[{\sin (\sin (\sin (x)))}\]

你积得出来吗?

特殊函数越来越多,然而无法表示的积分不减反增!

每当你定义一个新特殊函数,总会冒出其他没法写出积分的函数.

你仿佛看见哥德尔在笑.

不,你发疯似的定义特殊函数,定义了无穷多个特殊函数,使得给定任意函数组合总存在一个特殊函数来表示其积分...

但是此时特殊函数这个集合不再是一个递归集,有限时间内无法找到对应的特殊函数...

你听见哥德尔在哈哈大笑......

发表评论