几何の暴力美学:角圆

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Exercise1: 如图两个圆称为角圆,求大圆与小圆的周长比与角度的关系

第一问很简单,解方程就是了:

\[\begin{aligned}
\sin \frac{\theta }{2} &= \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{BI}}{{BO}} \\
\sin \frac{\theta }{2} &= \frac{r}{{AO}} = \frac{R}{{r + R + AO}} \\
AO &= r\csc \frac{\theta }{2} = \frac{{r(R + r)}}{{R - r}} \\
\frac{R}{r} &= \frac{{\csc (\theta /2) + 1}}{{\csc (\theta /2) - 1}} = {\tan ^2}\left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right) \\
\end{aligned}\]


Exercise2:如果这样子一个一个又一个的圆无限延伸下去,求所有圆的总面积和三角形面积的比值.

把所有关系一个个都列出来,全部展开用来表示三角形的面积:

\[\left\{ \begin{aligned}
&{S_\vartriangle } = \frac{1}{2}OC \cdot OD\sin \theta \\
&OC = OD = \frac{{OA + r + 2R}}{{\cos (\theta /2)}} \\
&OA = r\csc (\theta /2) \\
\end{aligned} \right.\]

三角形的面积出来了,就是形式特别烦...

圆的总面积也好算,等比数列求和就好了.

\[\begin{aligned}
{S_\vartriangle } &= 2\csc (\theta ){\left( {\sin \frac{\theta }{2}(r + 2R) + r} \right)^2} \\
&= 2{R^2}\csc \frac{\theta }{2}\tan \left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right){\sin ^2}\left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right) \\
S &= {\sum\limits_{i = 0}^\infty {\pi \left( {R{{\cot }^{2i}}\left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right)} \right)} ^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - {{\cot }^4}\left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right)}} \\
\end{aligned}\]

难度比较大的在于代数化简部分,这堆三角函数真是要命,不过结果还是很简洁的:

\[\frac{{{S_\vartriangle }}}{S} = \frac{4}{\pi }\sec \frac{\theta }{2}\]


Exercise3:如果圆同时向三个角延伸,求所有圆的总面积和三角形面积的比值的极大极小值.

现在圆的总面积怎么表示呢?

简单,往三个方向分别算一次Q2的面积就行了,然后由于中心最大的三角形算了三次,所以要减掉两个.

\[S = {S_{BO}} + {S_{BC}} + {S_{BD}} = {S_{BO}} + 2{S_{BC}} - 2\pi {R^2}\]

原来的$\theta$角不好,换个$\alpha$角.

\[\alpha  = \frac{{\pi  + \theta }}{4} \in \left( {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}} \right),\theta  \in \left( {0,\pi } \right)\]

不用再算一次,直接代进去就好了.

\[{S_{BC}} = {S_{BO}}\left\langle {\theta  \to \frac{{\pi  - \theta }}{2}} \right\rangle  = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - {{\tan }^4}(\alpha /2)}}\]

然后经过极端繁琐的代数运算可以得到:

\[\frac{{{S_\vartriangle }}}{S} = \frac{{2{{\sin }^3}(\alpha ){{\csc }^4}(\alpha /2)}}{{\pi (7\cos (\alpha ) + 2\cos (2\alpha ) + \cos (3\alpha ) + 4)}}\]

接下来再分析下这个函数就好了.

\[\begin{aligned}
\max \frac{{{S_\vartriangle }}}{S} &= \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to \pi /2} \frac{{{S_\vartriangle }}}{S} = \frac{4}{\pi } \\
\min \frac{{{S_\vartriangle }}}{S} &= {\left. {\frac{{{S_\vartriangle }}}{S}} \right|_{\alpha = \frac{\pi }{3}}} = \frac{{24\sqrt 3 }}{{11\pi }} \\
\end{aligned}\]


都做到这里了,不如推一下对于一般三角形的情况:

所有圆的面积好求,就是$\displaystyle{S = \sum\limits_{\theta  = A,B,C} {\frac{{\pi {R^2}}}{{1 - {{\cot }^4}((\theta  + \pi )/4)}}}  - 2\pi {R^2}}$.

三角形的面积其实也好求,考察三角形OBI的面积:

\[{S_{\vartriangle OBI}} = \frac{1}{2}R \cdot OI = \frac{{{R^2}}}{2}\cot \frac{\theta }{2}\]

所以总的三角形面积就是三个四边形相加,每个四边形又由两个全等直角三角形构成:

\[{S_\vartriangle } = {R^2}\left( {\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)\]

然后就是化简运算,最后结果能表示成:

\[\frac{{{S_\vartriangle }}}{S} = \frac{8}{\pi }\frac{{\sum\limits_{\theta  = A,B,C} {\cos \frac{\theta }{2}} }}{{1 + \sum\limits_{\theta  = A,B,C} {\left( {2\sin \frac{\theta }{2} + \cos \theta } \right)} }}\]

然后顺便可以算下在直角三角形中的极小值:

\[\begin{aligned}
S &= \frac{4}{\pi }\frac{{2\cos (A/2) + 2\cos (B/2) + \sqrt 2 }}{{2\sin (A/2) + \cos (A) + 2\sin (B/2) + \cos (B) + \sqrt 2 + 1}} \\
&\geqslant \frac{{4\sqrt 2 + 16\cos (\pi /8)}}{{2\pi \sqrt 2 + \pi + 4\pi \sin (\pi /8)}} \\
&= \frac{4}{{127\pi }}\left( {35\sqrt 2 + 2\sqrt {487\sqrt 2 + 3130} - 52} \right) \\
&\approx  1.21398\\
\end{aligned}\]

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