竞技场挑战

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很多游戏中都有竞技场的设定,缴纳一定的入场费,然后匹配与你水平差不多的玩家,一定场数后有奖励,输满一定的局数就出局.

当然有个上限局数,赢满的话能得到十分丰厚的奖励.

我们以炉石传说为例代入数据看下:

这是一个玩的还算不错的普通玩家,他的胜率高达60%.但是他完成挑战的概率也仅仅4%不到.

我们来建立模型看看如何计算这个概率.

设最大胜局为$w$,$l$局失败则出局,其中玩家的平均胜率为$p$.


马尔科夫状态转移矩阵当然可以解决所有问题,但就是运算量太大...

事实上这个问题没这么麻烦,因为过程无关只要考虑结果!

没有人在意你经历了什么,人们只看得见你现在如何!

最后一局赢的时候,前面必须赢$w-1 $局,然后允许输$0 \sim l-1 $局.

一共是$\sum\limits_{l = 0}^{l - 1} {C_{w + l - 1}^{w - 1}} $种情况,反之最后一局是败同理$\sum\limits_{w = 0}^{w - 1} {C_{w + l - 1}^{l - 1}} $种情况...

总的情况数就是 $\sum\limits_{l = 0}^{l - 1} {C_{w + l - 1}^{w - 1}} + \sum\limits_{w = 0}^{w - 1} {C_{w + l - 1}^{l - 1}} = \frac{{\Gamma (l + w + 1)}}{{\Gamma (l + 1)\Gamma (w + 1)}}$种.

然后把概率分进去求和,还是根据最后一局胜败分类:

\[\begin{aligned}
P(L) &= (1 - p)\sum\limits_{w = 0}^{w - 1} {C_{w + l - 1}^{l - 1}{p^w}{{(1 - p)}^{l - 1}}} \\
&= {(1 - p)^l}\sum\limits_{w = 0}^{w - 1} {C_{w + l - 1}^{l - 1}{p^w}} \\
&= {(1 - p)^l}\left( {{{(1 - p)}^{ - l}} - {p^w}C_{w + l - 1}^{l - 1}{{\mkern 1mu} _2}{F_1}(1,l + w;w + 1;p)} \right)\\
&= 1 - wC_{w + l - 1}^{l - 1}{B_p}(w,l)\\
P(W) &= p\sum\limits_{l = 0}^{l - 1} {C_{w + l - 1}^{w - 1}} {p^{w - 1}}{(1 - p)^l}\\
&= 1 - {(1 - p)^l}{p^w}C_{w + l - 1}^{w - 1}{{\mkern 1mu} _2}{F_1}(1,l + w;l + 1;1 - p)\\ &= 1 - P(L)\\
\end{aligned} \]

最后把局数乘进去算出期望:

\[\begin{aligned}
EL &= \sum\limits_{w = 0}^{w - 1} {(w + l)(1 - p)C_{w + l - 1}^{w - 1}{p^w}{{(1 - p)}^{l - 1}}}\\
EW &= \sum\limits_{l = 0}^{l - 1} {(w + l)pC_{w + l - 1}^{w - 1}{p^{w - 1}}{{(1 - p)}^l}}\\
E(L) &= p(EL + EW)\\
E(W) &= (1 - p)(EL + EW)\\
\end{aligned} \]

Ok,我们把这个过程写成函数封装起来.

就炉石传说而言,取$w=12,l=3$得到:

\[\begin{aligned}
{E_{win}}(p) &= 3p\left( {26{p^{13}} - 34{p^{12}} + \frac{{{p^{12}} - 1}}{{p - 1}}} \right)\\
{P_{win}}(p) &= 1092{B_p}(12,3) = {p^{12}}(78{p^2} - 168p + 91)\\
\end{aligned} \]

当然这并不重要,普通玩家主要关心自己什么情况下才能保本.

高手关心自己什么情况下才能永动,即收入超过门票费150金币.

王者级玩家才会去关心自己12胜的概率.

我们来对上面的式子作图:

上面一幅图表示的是进行场数随着胜率的变化图形.关键看下面一幅图.60%-80%已经算是高手了,但是完成挑战的概率仍然低于50%,经计算需要81.35%以上的胜率才有50%的把握完成12胜挑战.

根据我查到的资料4局回本,7局永动.

代入式子当中算得,回本并不容易,要57.5%的胜率才能做到,而如果想永动则要72.3%的胜率,这可不容易达到.


小彩蛋:所有等级奖励的奖牌,外加奖牌的名称.

GLOBAL_ARENA_MEDAL_Lv
0新手钥匙
1学徒钥匙
2工匠钥匙
3青铜钥匙
4白银钥匙
5黄金钥匙
6白金钥匙
7钻石钥匙
8勇士钥匙
9红玉钥匙
10霜脉钥匙
11熔火钥匙
12光铸钥匙

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