几何の暴力美学:心似三角形

Aster 理宅异闻录 Leave a Comment

是否存在一个三角形,其重心、垂心和内心所连成的三角形与原三角形相似?

难度有点大啊...这就要用到数学实验了,先做模拟一下看看解的情况再说.

发现一个重要的现象,内心所成的角∠ZNC 必然是钝角,那么原来的三角形就不可能是锐角或者钝角,这就可以当定解条件了.

一方面角又是单调了,在B点右端移动就可以取到唯一解.


开始干活,设:

\[\left[ \begin{gathered}
A \hfill \\B \hfill \\P \hfill \\
\end{gathered} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
0&0 \\ 1&0 \\ {x > 1}&{y > 0}
\end{array}} \right]\]

先算一个三角形中的重要参数半周长$p$.

\[\begin{aligned}
p &= \frac{1}{2}(a + b + c) \\
&= \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{{\left| {1 - x} \right|}^2} + {{\left| y \right|}^2}} + \sqrt {{{\left| x \right|}^2} + {{\left| y \right|}^2}} + 1} \right) \\
\end{aligned}\]

最简单的是重心,重心就是是坐标之和除以3.

\[Z = \left\{ \frac{1 + x}{3},\frac{y}{3} \right\}\]

然后是外心,虽然这里并不要求外心.

\[W = \left\{\frac{1}{2},\frac{x^2+y^2-x}{2 y}\right\}\]

不过算垂心最简单的方法其实就是以外心为原点重建系.

此时垂心的坐标可以表示成:

\[H = \{ x_A+ x_B + x_C,y_A + y_B + y_C \}\]

然后平移变换回去就得到了:

\[H = \left\{x,y-\frac{x^2+y^2-x}{y}\right\}\]

最后是最麻烦的内心.我的内心异常Angry甚至还想撕草稿纸...

内积其实有个很巧妙的算法,内积的坐标正好是边对于点的内积除以周长!

\[N = \frac{1}{{2p}}\left( {\left\{ {a,b,c} \right\} \oplus \left\{ {A,B,C} \right\}} \right)\]

Wonderful! 这几个量之前算过了直接带进去就是了.

\[N = \left\{\frac{\sqrt{\left| x\right| ^2+\left| y\right| ^2}+x}{\sqrt{\left| 1-x\right| ^2+\left| y\right| ^2}+\sqrt{\left| x\right| ^2+\left| y\right| ^2}+1},\frac{y}{\sqrt{\left| 1-x\right| ^2+\left| y\right| ^2}+\sqrt{\left| x\right| ^2+\left| y\right| ^2}+1}\right\}\]

我只想抽人...

然后相似就是对应边成比例的意思呗.

\[\frac{a}{NZ} = \frac{b}{ZH} = \frac{c}{NH}\]

不过此时计算量已经超越人类极限了...

列出来直接给计算机解去吧...最终得到结果$(x,y)$是下列方程的解:

\[\begin{aligned}
0&=34992 x^{10}-198288 x^9+469476 x^8\\
&-608148 x^7+480519 x^6-244350 x^5\\
&+79689 x^4-16058 x^3+2181 x^2-156 x+7\\
0&=1224440064 y^{20}+2138990976 y^{18}\\
&+870356016 y^{16}-535780008 y^{14}-452944791 y^{12}\\
&+23751864 y^{10}+68680650 y^8+4559780 y^6\\
&-28755 y^4-134352 y^2-6912\\
\end{aligned}\]

无语了,好可怕...数值解的话是:

\[P = ( {1.1098,0.3527} )\]

既然这个点的坐标是个代数数,那么边长也会是代数数.

所以面积也是代数数,相似比也是代数数.

这是一个10次代数数:

\[\begin{aligned}
0&=512 s^{10}-2304 s^9+3648 s^8\\
&-5088 s^7-408 s^6+1680 s^5-1124 s^4\\
&-66 s^3+207 s^2-54 s+81\\
\end{aligned}\]

也就是0.5292...

Sad...感觉毫无美感...唯一的价值就是造的这个轮子.


计算量已经上天,所以全程使用计算机辅助推导.

给定一条线段能做出8个这样的三角形,其中每4个对称全等,而这两类又是相似的.

用边表示关系就是:$(a,b,c) = \left( {0.3694,1.1645,1} \right)t$

如果用角表示就是:

\[\left\{ \begin{aligned}
\angle A &= 17.630^\circ \\
\angle B &= 107.296^\circ \\
\angle C &= 55.074^\circ \\
\end{aligned} \right.\]


Update:

发表评论