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$$L(s):=\sum_{m,n \in \mathbb{Z\backslash\{0\}}}^{'}\frac{1}{\left ( m^2+n^2 \right )^s}=4\,\sum_{m=0}^{\infty}\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( m^2+n^2 \right )^s}$$

$$L(s)=4\zeta(s)\beta(s)$$

在此输入正文

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{csch}^2(\pi n)}{n^2 }=\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^2} -\frac{\pi^2}{60}$$

$$\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^2}=4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^2}+\zeta(4)\right)$$

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一般来说数学家会考虑一个更难的问题, 把原来的情况视为一个特例, 从而发现更本质的规律.

我们不妨设:

$$\begin{aligned}
R_{s}(\alpha)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s\left(e^{\alpha n}-1\right)}\\
T_{s}(\alpha)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s\left(e^{\alpha n}+1\right)}\\
\end{aligned}$$

通常 $s$ 是一个正的奇数, 而 $\alpha$ 则是 $\pi\sqrt{k},k\in\mathbb{Z_+}$的形式.

我们可以把这个求和转写成多对数函数 $\displaystyle \mathrm{Li}_{s}(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^s}$ 的形式

$$R_{s}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{\alpha=0}^{\infty}\frac{e^{-xn(\alpha+1)}}{n^s}= \sum_{\alpha=1}^{\infty}\mathrm{Li}_{s}\left(e^{-\alpha x}\right)$$

然后代入下列关系式, 该关系可以由梅林变换得到.

Wiki 有这个的推导, 对此不做进一步解释: [Polylogarithm Integral](https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm#Integral_representations)

$$\mathrm{Li}_{s}\left(e^{-u}\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(z)\zeta(z+s)u^{-z}\, dz$$

代入变形, 最终我们能得到:

$$\begin{aligned}
R_{s}(x) &= \frac{1}{2\pi i}\sum_{m=1}^{\infty}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\Gamma(z)\zeta(z+s)\left(xm\right)^{-z}\, \mathrm{d}z\\
&= \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\Gamma(z)}{x^{z}}\zeta(z+s)\zeta(z)\, \mathrm{d}z
\end{aligned}$$

接下里就是复变函数的内容了, 考虑如下围道积分:

$$I_{s}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}f(z)\mathbb{d}z$$

$$f(z)=\frac{\Gamma(z)}{x^{z}}\zeta(z+s)\zeta(z)$$

我们来看看有哪些奇点, $\zeta$ 函数带来的 $z=1$, $z+s=1$ 还有 $\Gamma$ 函数的 $z=0,-1,-2\cdots\cdots$, 围道$\gamma$ 直接从左边过来顺时针绕一圈回去就行.

先看奇点 $z=1$, 这个不难:

$$\operatorname{Res}\limits_{z=1}f(z)=\frac{\zeta(s+1)}{x}$$

然后是奇点 $z=-n$, 这个也不麻烦:

$$\operatorname{Res}\limits_{z=-n}f(z)=\frac{(-x)^{n}}{n!}\zeta(s-n)\zeta(-n)$$

于是就差最后一部分了:

$$I_{s}(x)=\operatorname{Res}\limits_{z=1-s}f(z)+\frac{\zeta(s+1)}{x}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}\zeta(s-n)\zeta(-n)$$

这部分的留数不是很好求, 对于非整数情况易得:
$$\operatorname{Res}\limits_{z=1-s}f(z)=\frac{\Gamma(1-s)}{x^{1-s}}\zeta(1-s),s\not \in \mathbb{Z}$$

但我们感兴趣的是正整数时的情况 $s\in\mathbb{Z}_+$, 此时函数奇点与Gamma函数的一个奇点重叠,而另一个极点为双重奇点.

$$\begin{aligned}
\frac{1}{2\pi i}\oint_{z=1-s}f(z)dz
&=\frac{1}{2\pi i}\oint_{z=1-s}\frac{f(z)}{(z+s-1)^{2}}dz\\
&=\left.\frac{d}{dz}\left[(z+s-1)^{2}\Gamma(z)\;\zeta(z+s)\frac{\zeta(z)}{x^{z}}\right]\right|_{z=1-s}\\
&=\frac{(-x)^{s-1}}{(s-1)!}\left[\zeta^{\prime}(1-s)+\left(H_{s-1}-\ln2\pi\right)\zeta(1-s)\right] \end{aligned}$$

加上这部分, 最终的表达式就是:

$$\begin{aligned}
I_{k}(x)=&\frac{\zeta(k+1)}{x}+\!\sum_{\begin{array}{c}n=0\\
n\ne k-1\end{array}}^{\infty}\!\frac{(-x)^{n}}{n!}\zeta(k-n)\zeta(-n)\\
+&\frac{(-x)^{k-1}}{(k-1)!}\left[\zeta^{\prime}(1-k)+\left(H_{k-1}-\ln2\pi\right)\zeta(1-k)\right] \end{aligned}$$

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