竞技场挑战

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很多游戏中都有竞技场的设定,缴纳一定的入场费,然后匹配与你水平差不多的玩家,一定场数后有奖励,输满一定的局数就出局.

当然有个上限局数,赢满的话能得到十分丰厚的奖励.

我们以炉石传说为例代入数据看下:

这是一个玩的还算不错的普通玩家,他的胜率高达60%.但是他完成挑战的概率也仅仅4%不到.

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分式函数迭代

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有这样一种填空题:

已知$f(1)=1,f(x + 1) = \frac{{1 + f(x)}}{{1 - f(x)}}$,求$f(2017)$

老师第一次讲这个的时候说了个迭代倍增法,先再加个1,然后加个2,然后加4,加到变回$f(x)$为止...

下面一片懵逼...为毛这么搞能做出来啊,为毛这样一定有周期性啊,有没有可能有的题不是2的幂的周期啊...


考虑如下一般情况:

\[f(x + \lambda ) = \frac{af(x) + b}{cf(x) + d}\quad \lambda  \ne 0\]

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级数习题V

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上次我展示了一个极为惊艳的积分:

\[\int_0^1 {{e^{i\pi x}}} \; {x^x}{(1 - x)^{1 - x}}\; dx = \frac{e}{2}\frac{\pi }{3}\frac{i}{4}\]

这个积分神奇的把$0,1,2,3,4,i,e,\pi,x^x$结合在了一起.

Well,可是有很多吃瓜群众仍不满足,执意要把欧拉常数$\gamma$塞进去...

这个积分很精密的,禁不住这么魔改.不过还真有能塞一起的式子,不但能把$e,\pi,\gamma$一网打尽还能塞个Glaisher常数$\rm A$进去.

\[ - \zeta'(2) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\frac{{\ln k}}{{{k^2}}}}  = \ln \prod\limits_{k = 1}^\infty  {\sqrt[{{k^2}}]{k}}  = \zeta (2)\ln \left( {\frac{{{{\rm A}^{12}}}}{{2\pi {e^\gamma }}}} \right)\]

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超越数探秘(中)

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证明超越数常用的三个定理就是:林德曼-魏尔斯特拉斯定理(Hermite–Lindemann–Weierstrass Theorem)格尔丰德-施奈德定理(Gelfond–Schneider Theorem).还有就是下节要讲的刘伟尔定理,把玩了一下确实是核武器.
PS:证明在超链接里.


林德曼-魏尔斯特拉斯定理说的是:

如果代数数 ${a_1},{a_2}...,{a_n}$ 在有理数域 $\mathbb{Q}$ 内是线性独立的,那么 $e^{a_1},e^{a_2}...,e^{a_n}$在 $\mathbb{Q}$ 内也是代数独立的.也就是说,扩张域$\mathbb {Q} (e^{a_1},e^{a_2}...,e^{a_n})$在 $\mathbb{Q}$内具有超越次数 $n$.

PS:代数数域是个歧义词,代数数 域,代数 数域,显然本文在谈论前一种东西.

呃,翻译成人话就是:

如果 $a_1,a_2,...,a_n$ 为非零代数数, $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 为不同的代数数,那么
$$a_{1}e^{\alpha _{1}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}\neq 0$$

这个定理足以称为大杀器!Read More

Mr.Perfect:怎样喝水最快

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今天有知友邀请Mr.Perfect回答一个Intererereresting的问题:怎样喝水最快......

首先Mr.Perfect有个杯子,然后Mr.Perfect有个pan,然后Mr.Perfect要去接热水,显然Mr.Perfect不能喝开水是吧,Mr.Perfect得等水冷下来,然后Mr.Perfect可以选择喝掉多少.

喝得多剩的冷水少重新混合后温度就高,等的时间就长.反之也是喝得少等的时间短.所以到底应该选择一个怎样的比例才能喝的最快呢?

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超越数探秘(上)

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分数之和可以是整数,无理数之积可以是有理数,那么超越数之幂是否可以是代数数?

比较著名的超越数似乎就$\pi,e$这俩吧,这俩的幂次组合怎么看都不像代数数.

也许我们可以借助恒等式 $n = e^{\ln n}$ ,尝试证明对数函数的超越性...

所谓超越数,就是复数域当中去掉所有代数数后剩下的部分.PS:很不幸这部分的测度是100%

PPS:有理数中分数占100%,实数中无理数占100%,复数中虚数占100%,现在超越数又占100%...唉...

代数数么,就是某个代数方程...也不对...应该是整系数多项式方程的解.

$$a_n x^n+a_{n-1} x ^{n-1}+…+a_1  x+a_0= 0\quad(n \in Z_+,a_n≠0)$$

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积分习题X:格拉瑟主定理

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格拉瑟主定理(Glasser's Master Theorem)的标准表述如下:

恒等式$PV\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F(\phi (x)){\rm{dx}}}  = PV\int_{ - \infty }^{ + \infty } {F(x){\rm{dx}}} $对任意可积函数$F(x)$和$\phi (x) = |a|x - \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{{|{\alpha _n}|}}{{x - {\beta _n}}}} $成立.

其中$a,\left\{ {{\alpha _n}} \right\}_{n = 1}^N,\left\{ {{\beta _n}} \right\}_{n = 1}^N$可以是任意常数,PV是柯西主值(Cauchy Principal Value)不可以两边约掉的啊魂淡可我怎么总是有种两边划掉的强烈冲动怎么办才好啊好烦啊要控制不住了的说....

So....这玩意儿有什么用呢?

叫你证仨积分,汝敢答应否?

$$\begin{aligned}
{I_1} &= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{x^8} + 12{x^7} + 58{x^6} + 144{x^5} + 193{x^4} + 132{x^3} + 36{x^2}}}{{{x^{10}} + 12{x^9} + 51{x^8} + 72{x^7} - 81{x^6} - 300{x^5} - 43{x^4} + 576{x^3} + 664{x^2} + 264x + 36}}{\rm{d}}x} = \pi \\
{I_2} &= \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{x^8} + 4{x^7} + 6{x^6} + 4{x^5} + {x^4}}}{{{x^{12}} + 4{x^{11}} - 2{x^{10}} - 24{x^9} - 10{x^8} + 56{x^7} + 48{x^6} - 40{x^5} - 49{x^4} + 4{x^3} + 20{x^2} + 8x + 1}}{\rm{d}}x = \frac{\pi }{{\sqrt 2 }}} \\
{I_3} &=\int_0^\infty \frac{x^{14}-15x^{12}+82x^{10}-190x^8+184x^6-60x^4+16x^2}{x^{16}-20x^{14}+156x^{12}-616x^{10}+1388x^8-1792x^6+1152x^4-224x^2+16}\; dx = \frac{\pi}{2}
\end{aligned}$$

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模法导论(番外)

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说说两个有趣的关于求模的算法.

第一个是阶乘求模.这个么,其实规模小的时候$\left( {a!\bmod n\quad a < n < {{10}^6}} \right)$也没什么优化可用.硬刚吧.

  1. 先朴素的把这个数算出来然后求模0.23s,good.
  2. 自己造个轮子把数算出来然后求模,0.70s,233,说了不要自己造轮子.
  3. 用Fold折叠列表,边乘边模,0.12s,Excellent! 如果是Haskell的话应该会更快吧,第一有惰性计算,第二乘法计算速度真的丧心病狂,当初刷OJ直接写a*b过了大数乘法,而且还是第一.......
  4. 所以我们想能不能从两边一起折叠这个列表,Sorry,MMA没有这种的,然后想到要是对折这个列表岂不是可以有${\log _2}n$的算法了?想得美,0.82s.
  5. 好吧对折太慢了,应该一次折叠100重,0.23s.Well,看来多出来的那么多次乘法和取模不管怎样反而消耗了更多的资源呐.
  6. 所以我们来用循环吧!1.02s,666,说了MMA里能不用循环就不要用循环,特别是不编译直接正面刚,而且用了编译还不如全部用C#写然后Link进来.我用C#写了个naïve的循环确实是0.1s左右.
  7. 想到个折中的办法,Nest尾递归一个二元组就不用维护列表了.0.16s,唔,不是很懂怎么搞的,会比Fold慢好玄学啊.

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