赠券半收集

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Question:

假设有n种赠券,每种赠券获取机率相同,而且赠券亦无限供应。若取赠券k张,能集齐其中m种赠券的机率多少


恰好在第 $k$ 次试验得到指定 $m$ 张不同赠券的试验次数是 $ m! \mathcal{S}_2(k - 1, m - 1)$.

从 $n$ 张不同的赠券中收集 $m$ 张共有 $\mathcal{C}(n,m)$ 种方法.

最后总方法数仍是 $n^k$.

综上所述, 恰好在第 $n$ 次试验完成收集全部 $k$ 张不同的赠券的概率是:

$$P(n)=m! \mathcal{S}_2(k - 1, m - 1)\mathcal{C}(n,m)/n^k$$

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经典赠券收集

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Question:

假设有n种赠券,每种赠券获取机率相同,而且赠券亦无限供应。若取赠券k张,能集齐n种赠券的机率多少?

在第 $k$ 次试验后恰好第一次完成全部收集,则在前 $k - 1$次试验收集了 $n - 1$ 张不同的赠券.前 $k - 1$ 次试验相当于将 $k - 1$ 个元素的集合划分成有序的 $n - 1$ 个非空子集的个数.即 $(n - 1)! \mathcal{S}_2(k - 1, n - 1)$ 个,其中$\mathcal{S}_2 (k, n )$ 是第二类Stirling 数.

从 $n$ 张不同的赠券中收集到 $n - 1$ 张有 $\mathcal{C}(n,n-1)$ 种组合, 其中$\mathcal{C}(n,k)$ 为二项式系数.

最后除以总方法数,也就是将 $k$ 个元素的集合划分成 $n$ 个子集的方式,共 $n^k$ 种.

综上所述,恰好在第 $k$ 次试验完成收集全部 $n$ 张不同的赠券的试验的概率是:

$$\begin{aligned}
P(n)=&(n - 1)! \mathcal{S}_2(k - 1, n - 1)\mathcal{C}(n,n-1)/ n^k\\
=&\frac{n!}{n^k} \mathcal{S}_2(k - 1, n - 1)\\
\end{aligned}$$

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竞技场挑战

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很多游戏中都有竞技场的设定,缴纳一定的入场费,然后匹配与你水平差不多的玩家,一定场数后有奖励,输满一定的局数就出局.

当然有个上限局数,赢满的话能得到十分丰厚的奖励.

我们以炉石传说为例代入数据看下:

这是一个玩的还算不错的普通玩家,他的胜率高达60%.但是他完成挑战的概率也仅仅4%不到.

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Unlimited Dizziness Works

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大多数游戏中技能的冷却时间都要比生效时间长得多,如眩晕这样的强力技能当然更是如此.不过在一些IMBA的游戏中眩晕冷却比眩晕时间还短也是很正常的.我还记得上中学的时候玩神墓的魔兽地图,开了Whosyourdaddy然后被地图左边一堆忘了叫什么的石头人无限晕按死在那里,挣扎了两分钟选择自杀...

我们来研究下这种有趣的情景,先研究回合制时的情况,因为即时值对砍的话也能等效成回合制.

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九宫格密码盘

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九宫格密码盘能形成很多有趣图案,我们来鉴赏一下,我们关心的是图案的密码强度,也就是密码的种类个数.

三阶似乎有点复杂,先来个二阶的,显然旋转重合不算同一种

$$\begin{array}{*{20}{c}}
A&B \\
C&D
\end{array}$$

所以选A开始,一步的有三个选择,两步有3×2中选择,三步有3×2×1种选择

一共$4 \times (3 + 3 \times 2 + 3 \times 2 \times 1) = 60$种可能性

把ABCD看做四个城市,假如一个星球上有n个城市,我要旅游,至少得去一个城市,去的城市不能重复,那么可能的旅游路线数目有这么多

$$\mathop \sum \limits_{k = 2}^n \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = {\text{e}}\Gamma \left( {n + 1,1} \right) - (1 + n)$$

地球上著名城市大约是2000个左右,代入n=1999(原谅我强迫症)得到一个5733位数,So,求出其中最短的路径有点困难,看看机票价格贪心算法也够了,这注定是个有生之年系列.

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