随机级数

Aster 理宅异闻录 Leave a Comment

考虑 $\mathbb{R}$ 上的随机游走,每一步有$\frac{1}{2}$的概率选择往左走,有$\frac{1}{2}$的概率往右走.但是第$n$步走的距离为$\frac{1}{n}$.

请问终点的概率分布是否存在?如果存在那是什么样子的?

这个问题等价于求随机调和级数的收敛分布.

如果$\sum a_n x^n$ 中的$ a_n $是个随机变量,那么就把他称为随机级数,随机级数有个很最简单的审敛方法.

无偏随机游走嘛,也就是 $ \mathbb{E}( \xi_n ) = 0 $ 的意思, 另一方面$ \mathbb{E}( {\xi_n}^2 ) =\mathbb{E}( {|\xi_n|}^2 ) =\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}  $.

所以这个随机级数以概率$1$收敛,接下来我们来求最终收敛到的概率密度函数.

$a_n$是个数列,$ \sum a_n$自然收敛到一个数.

$a_n$服从一个概率分布,那$ \sum a_n$自然也就收敛到一个概率分布咯.

因为问题的复杂性,一般来讲是没法求出解析式的,只有各种近似计算.

考虑这个过程的生成函数$\prod\limits_{n > 0} {\left( {\frac{1}{2}{z^{\frac{1}{n}}} + \frac{1}{2}{z^{ - \frac{1}{n}}}} \right)}$,这根本就无从下口.

所以我们转而考虑其特征函数 $\cos(t/n) $,也就是求 $\prod_{n=1}^\infty \cos(t/n)$ 的逆傅里叶变换.

我们希望找个能进行傅里叶变换的函数来近似计算.

首先这是个偶函数,其次无穷个余弦函数相乘在远离原点的地方会衰减,$\text{Sinc}$函数是个不错的示范

但是衰减的速度不是很契合,所以还要加个指数函数来调整,当然得是偶函数,加个平方.

也就是用$e^{-\frac{t^2}{a}} \text{sinc}(b t)$来近似.

我们可以用级数展开来确定系数.

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级数习题II:复合调和级数

Aster 数学题集 Leave a Comment

从上节的内容中我们已经知道了调和级数$\frac{1}{n}$以及复合调和级数$\frac{H_n}{n}$也不收敛.

这实在是很有趣的事情,这一节我们来看一些收敛的案例.

先说下要用到的一些函数的定义.

$$\begin{aligned}
H_k^{(p)} & = \mathop \sum \limits_{n = 1}^k \frac{1}{{{n^p}}}\; \\
{H_k} = H_k^{(1)} & = \mathop \sum \limits_{n = 1}^k \frac{1}{n} \\
\text{Li}_n(z)& =\sum _{k=1}^{\infty } \frac{z^k}{k^n} \\
\zeta (s) & =\sum _{k=1}^{\infty } k^{-s}
\end{aligned} $$

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