几何の暴力美学:心似三角形

Aster 理宅异闻录 Leave a Comment

是否存在一个三角形,其重心、垂心和内心所连成的三角形与原三角形相似?

难度有点大啊...这就要用到数学实验了,先做模拟一下看看解的情况再说.

发现一个重要的现象,内心所成的角∠ZNC 必然是钝角,那么原来的三角形就不可能是锐角或者钝角,这就可以当定解条件了.

一方面角又是单调了,在B点右端移动就可以取到唯一解.

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几何の暴力美学:角圆

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Exercise1: 如图两个圆称为角圆,求大圆与小圆的周长比与角度的关系

第一问很简单,解方程就是了:

\[\begin{aligned}
\sin \frac{\theta }{2} &= \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{BI}}{{BO}} \\
\sin \frac{\theta }{2} &= \frac{r}{{AO}} = \frac{R}{{r + R + AO}} \\
AO &= r\csc \frac{\theta }{2} = \frac{{r(R + r)}}{{R - r}} \\
\frac{R}{r} &= \frac{{\csc (\theta /2) + 1}}{{\csc (\theta /2) - 1}} = {\tan ^2}\left( {\frac{{\theta + \pi }}{4}} \right) \\
\end{aligned}\]


Exercise2:如果这样子一个一个又一个的圆无限延伸下去,求所有圆的总面积和三角形面积的比值.

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