随机级数

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考虑 $\mathbb{R}$ 上的随机游走,每一步有$\frac{1}{2}$的概率选择往左走,有$\frac{1}{2}$的概率往右走.但是第$n$步走的距离为$\frac{1}{n}$.

请问终点的概率分布是否存在?如果存在那是什么样子的?

这个问题等价于求随机调和级数的收敛分布.

如果$\sum a_n x^n$ 中的$ a_n $是个随机变量,那么就把他称为随机级数,随机级数有个很最简单的审敛方法.

无偏随机游走嘛,也就是 $ \mathbb{E}( \xi_n ) = 0 $ 的意思, 另一方面$ \mathbb{E}( {\xi_n}^2 ) =\mathbb{E}( {|\xi_n|}^2 ) =\sum_{n=1}^\infty {\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}  $.

所以这个随机级数以概率$1$收敛,接下来我们来求最终收敛到的概率密度函数.

$a_n$是个数列,$ \sum a_n$自然收敛到一个数.

$a_n$服从一个概率分布,那$ \sum a_n$自然也就收敛到一个概率分布咯.

因为问题的复杂性,一般来讲是没法求出解析式的,只有各种近似计算.

考虑这个过程的生成函数$\prod\limits_{n > 0} {\left( {\frac{1}{2}{z^{\frac{1}{n}}} + \frac{1}{2}{z^{ - \frac{1}{n}}}} \right)}$,这根本就无从下口.

所以我们转而考虑其特征函数 $\cos(t/n) $,也就是求 $\prod_{n=1}^\infty \cos(t/n)$ 的逆傅里叶变换.

我们希望找个能进行傅里叶变换的函数来近似计算.

首先这是个偶函数,其次无穷个余弦函数相乘在远离原点的地方会衰减,$\text{Sinc}$函数是个不错的示范

但是衰减的速度不是很契合,所以还要加个指数函数来调整,当然得是偶函数,加个平方.

也就是用$e^{-\frac{t^2}{a}} \text{sinc}(b t)$来近似.

我们可以用级数展开来确定系数.

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漫无目的的旅行

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随机游走可以简单的分为连续和离散两种, 前者是自然界中常见的布朗运动, 后者可以由很多数学问题化归得到.

其中, 离散情况还分为有限和无限两种类别.这里先讲第一种, 离散且有限.


例题1:有个国家有n个机场,这n个机场之间都有航班相连.我从A机场开始乘飞机,随机等概率的乘坐各架次航班在各个机场间来回.我不知道我买了哪些票,我只记得我乘了k次飞机,那么我从该架次飞机上下来后发现我在A机场的概率是多少?

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