【π史话】BBP类公式

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BBP公式全称为 贝利-波尔温-普劳夫公式 (Bailey–Borwein–Plouffe formula),该公式发现于1995年,以三位发表者的名字命名.

最初的一个BBP公式是:

\[\pi  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{1}{{{{16}^k}}}\left( {\frac{4}{{8k + 1}} - \frac{2}{{8k + 4}} - \frac{1}{{8k + 5}} - \frac{1}{{8k + 6}}} \right)} \]

证明不算太难,可以作为一道高数习题.一个思路是交换积分求和次序来将式子转化为有理分式积分.

\[\begin{aligned}
\int_0^{1/\sqrt 2 } {\frac{{{x^{p - 1}}}}{{1 - {x^8}}}{\text{d}}x} &= \int_0^{1/\sqrt 2 } {\sum\limits_{k = 0}^\infty {{x^{p - 1 + 8k}}} {\text{d}}x} \\
&= \sum\limits_{k = 0}^\infty {\int_0^{1/\sqrt 2 } {{x^{p - 1 + 8k}}{\text{d}}x} } \\
&= \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{2^{ - 4k - \frac{p}{2}}}}}{{8k + p}}} \\
&= \frac{1}{{{2^{p/2}}}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{16}^k}}}\frac{1}{{8k + p}}} \\
\end{aligned} \]

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